البته برای آنکه ابتدا بدانیم چگونه این ضرب‌ها باید صورت گیرند، همان خاصیت پخشی را به کار برده ولی ضرب‌ها را به صورت ستونی یا عمودی انجام می‌دهیم. این عمل ضرب را هنگامی که اعداد دو رقمی را ضرب می‌کنیم هم به کار برده‌ایم. در ادامه این نوع ضرب را به کمک مثال‌هایی، معرفی می‌کنیم.

مثال ۲۲: حاصل ضرب √3+√5

را در √3–√6

مشخص کنید.

قاعده ضرب عمودی را برای تک تک جمله‌ها به کار خواهیم برد. به تصویر زیر دقت کنید.

همانطور که می‌بینید، قسمت اول ضرب در بخش اول دیده می شود و بخش دوم (سطر دوم) از ستون دوم آغاز شده. همین عملیات را به صورت پخشی و سطری نیز می‌توان اجرا کرد.

(√3+√5)(√3–√6)=√9+√15–√18–√30=3+√15–√9×2–√30

پس از ساده‌سازی و جمع جبری جملات مشابه به رابطه زیر خواهیم رسید.

3+√15–3√2–√30

مثال ۲۳: ضرب زیر را انجام دهید.

(√3+√5)(√3–√5)

می‌بینید که پرانتز اول بسیار به پرانتز دوم شبیه است. در حقیقت تنها تفاوت در علامت جمع و تفریق دو پرانتز نهفته است. در این حالت عبارت اول و دوم را «مزدوج» (Conjugate) یکدیگر می‌نامند. در اینجا عمل ضرب را به مانند قبل انجام می‌دهیم ولی در ادامه مفهوم ضرب عامل‌های مزدوج را به کمک اتحادها اجرا خواهیم کرد.

در ضرب بالا که به صورت ستونی نوشته شده، مشخص است که عبارت‌ها، یکی یکی در هم ضرب و سپس با هم جمع شده‌اند. پس از جمع جبری به رابطه زیر خواهیم رسید.

(√3+√5)(√3–√5)=√9+√15–√15–√25=√9–√25=3−5=−2

نکته: هر دو عبارت اولیه، یک عدد غیرگویا (عدد موهومی) را نشان می‌دهند در حالیکه حاصل‌ضرب آن‌ها یک عدد گویا (۲-) شد. این امر نشان می‌دهد که از ضرب دو عدد موهومی می‌توان یک عدد گویا ساخت ولی به یاد داشته باشید که از ضرب دو عدد گویا، یک عدد موهومی یا گنگ حاصل نمی‌شود.

به این ترتیب باید جملات مشخص برای جمع و تفریق رادیکالی، مشابه باشند. پس بهتر است تعریفی از اعداد یا عبارت‌های رادیکالی مشابه ارائه دهیم. زیرا دو عدد رادیکالی را زمانی می‌توان با یکدیگر جمع جبری کنیم که مشابه باشند.

رادیکال های مشابه: اعداد رادیکال‌دار، زمانی مشابه هستند که فرجه و مقدار زیر رادیکال در آن‌ها برابر بوده و تنها می‌تواند ضریب رادیکال‌ها با یکدیگر تفاوت داشته باشند. در جمع و تفریق اعداد رادیکالی این موضوع اهمیت پیدا می‌کند زیرا فقط رادیکال های مشابه را می‌توان از هم تفریق یا با هم جمع کرد.

برای مثال 5√3

و 4√3

مشابه هستند، زیرا فرجه هر دو رادیکال ۲ بوده و از طرفی مقدار زیر رادیکال در هر دو عدد برابر با ۳ است. اعداد ۴ و ۵و نیز ضریب‌های رادیکال‌ها هستند. بنابراین اگر قرار باشد آن‌ها را با یکدیگر جمع یا تفریق کنیم، رابطه‌ها را به صورت زیر خواهیم نوشت.

4√3+5√3=9√3

همچنین برای تفریق نیز به صورت زیر عمل خواهیم کرد.

4√3–5√3=−1√3

بنابراین قاعده کلی برای جمع یا تفریق دو عدد رادیکال (ریشه دوم) با ضرایب مختلف را به صورت زیر خواهیم داشت:

a√x±b√x=(a±b)√x

همچنین یکسان بودن فرجه‌ها را هم باید در نظر گرفت. برای مثال اگر ریشه n

ام عدد x

مطرح باشد، رابطه بالا به صورت کلی به شکل زیر خواهد بود.

an√x±bn√x=(a±b)n√x

نکته: اگر در عبارت اول، فرجه n

و در عبارت دوم، فرجه m بوده که n≠m، آنگاه امکان جمع‌کردن این جمله وجود نخواهد داشت. همچنین اگر در عبارت اول x و در عبارت دوم y‌ مقدار زیر رادیکال باشند، بطوری که x≠y

آنگاه امکان جمع جبری جملات وجود ندارد.

در ادامه به ذکر مثال‌هایی در این زمینه می‌پردازیم تا مسئله جمع و تفریق رادیکال برایتان روشن‌تر شود.

مثال ۱۳: عبارت زیر را ساده کنید.

2√3+3√3

از آنجایی که هر دو عبارت در جمع، رادیکال با فرجه ۲ هستند و مقدار زیر رادیکال نیز یکسان است، امکان محاسبه جمع جبری وجود دارد. در این حالت به صورت زیر عمل می‌کنیم.

2√3+3√3=(2+3)√3=5√3

مثال ۱۴: نتیجه جمع رادیکال ۹ و رادیکال ۲۵ چیست؟

در حقیقت مسئله را به بیان ریاضی به شکل زیر مشخص می‌کنیم.

√9+√25=3+5=8

نکته: توجه داشته باشید که در رابطه بالا، ابتدا رادیکال‌ها ساده شده، سپس با یکدیگر جمع شده‌اند. واضح است که رابطه زیر را برای جمع کردن رادیکال‌ها نباید به کار بست.

√x+√y≠√x+y

مثلا طبق مثال ۱۴، داریم:

√9+√25=3+5=8≠√9+25=√34≅5.83

ولی به این موضوع نیز توجه داشته باشید که ممکن است با ساده کردن رادیکال‌هایی مانند √x

یا √y

، به عبارت‌هایی برسیم که در زیر رادیکال، مقدارهای زیر رادیکال برابر شده و با توجه به یکسان بودن فرجه‌ها، جمع یا تفریق میسر شود. مثال‌های قبلی به این موضوع پرداخته بودند. در ادامه به مثال‌های دیگری اشاره می‌کنیم که در آن‌ها، یا جملات مشابه وجود دارند یا به کمک تغییراتی می‌توان به جملات مشابه برای محاسبه رادیکال، رسید.

مثال ۱۵: نتیجه جمع زیر را بدست آورید.

3√4+2√4

از آنجایی که عبارت‌های زیر رادیکال برابر بوده و هر دو برحسب ریشه دوم هستند، امکان جمع کردن وجود دارد. پس نتیجه را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

3√4+2√4=(3+2)√4=5×2=10

مثال ۱۶: نتیجه جمع برای عبارت زیر چیست؟

3√3+2√5+√3

همانطور که می‌بینید فقط دو جمله اول و سوم در این مثال مشابه هستند و به این ترتیب 3√3

و √3 قابل جمع بوده و عبارت 2√5

نمی‌تواند با آن‌ها جمع شود.

3√3+2√5+√3=3√3+√3+2√5=(3+1)√3+2√5=4√3+2√5

واضح است که ضریب در عبارت سمت چپ، یعنی √3

برابر با ۱ است. به همین دلیل در ادامه محاسبات، داخل پرانتز، ۱ را با ۳ جمع کرده‌ایم. در مثال بعدی می‌خواهیم به موارد بیشتری از نحوه جمع یا تفریق جملات رادیکالی بپردازیم.

مثال ۱۷: عبارت زیر را ساده کنید.

√18−2√27+3√3−6√8

برای آنکه به ساده‌ترین حالت نمایش این جمع و تفریق برسیم، مراحل زیر را طی خواهیم کرد.

√18−2√27+3√3−6√8=√2×32–2√33+3√3–6√23

به این ترتیب با ساده کردن رادیکال‌ها به رابطه زیر خواهیم رسید.

√2×32–2√33+3√3–6√23=3√2–2×3√3+3√3–6×2√2

که پس از ساده‌سازی و جمع جبری رادیکال‌ها مقدار نهایی بدست می‌آید.

3√2–2 ×3√3+3√3–6×2√2=3√2–12√2–6√3+3√3=−9√2–3√3

همانطور که در این مثال مشاهد کردید، در ابتدا به نظر می‌رسید با نابرابری مقادیر زیر رادیکال، امکان جمع یا تفریق وجود ندارد. ولی پس از آنکه عبارت‌های رادیکالی را ساده کردیم، به جملات مشابه رادیکالی رسیدیم و توانستیم محاسبات مربوط به جمع و تفریق را برای این جمله‌ها اجرا کنیم.

مثال ۱۸: نتیجه ساده‌سازی رابطه 2√3+3√5

چه خواهد شد؟

از آنجایی که هر دو رادیکال فرجه یکسانی دارند، امکان ساده‌سازی و جمع کردن آن‌ها محتمل است. ولی از طرفی، مقادیر زیر رادیکال‌ها یکسان نیستند و امکان ساده‌سازی نیز وجود ندارد. بنابراین عبارت گفته شده به ساده‌ترین شکل نوشته شده و نمی‌توان در آن تغییری بوجود آورد.

مثال ۱۹: حاصل ضرب √2

در (3+√3)

را بدست آورید.

از خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع استفاده کرده و رابطه ضرب را ساده می‌کنیم.

√2(3+√3)=√2(3)+√2(√3)=3√2+√2×3=3√2+√6

همانطور که مشخص است، نتیجه از این ساده‌تر نخواهد شد.

مثال ۲۰: حاصل ضرب √3(2√3+√5)

چیست؟

√3(2√3+√5)=√3(2√3)+√3(√5)=2×√3×3+√3×5=2×3+√15=6+√15

مثال ۲۱: مقدار حاصل ضرب زیر را بدست آورید.

(1+√2)(3–√2)

در این مثال به کمک ضرب جمله به جمله، محاسبات را برای مقادیر رادیکالی اجرا می‌کنیم و هر بار بخشی از عبارت اول را به صورت پخشی، در عبارت دوم ضرب خواهیم کرد.

(1+√2)(3–√2)=(1)×(3–√2)+√2(3–√2)=3−√2+3×√2–(√2×√2)=3–√2+3√2–2=3+2√2−2=1+2√2

هنگام ساده سازی عبارت‌های زیر رادیکال، شما همیشه فقط اعداد درون رادیکال را نخواهید داشت. ممکن است یک عبارت رادیکالی با متغیرها نیز همراه باشد. متغیرهای موجود در محاسبه یک رادیکال به همان روش اعداد صورت خواهد گرفت و مبنا، ایجاد جملاتی به صورت مربع کامل یا فاکتورگیری است. برای توضیح مراحل کار به ذکر مثال‌هایی در این زمینه خواهیم پرداخت.

مثال ۶: عبارت √16x4

را ساده کنید.

از قبل می‌دانیم که 16 یک مربع کامل است، بنابراین عدد 4 را از رادیکال خارج می‌کنیم. با نگاه به بخش متغیر، متوجه می‌شویم که x نیز به صورت مربع کامل به کار رفته است. بنابراین می‌توانیم از متغیر را هم از رادیکال خارج کنیم.

به روند مربوط به این محاسبه که در ادامه دیده می‌شود، توجه کنید.

√16x2=√42×(x2)2

عبارت‌های طرف راست، مربع کامل هستند و پایه‌ها از رادیکال خارج می‌شوند.

√16x4=4×x2=4x2

همانطور که می‌بینید، ساده‌سازی رادیکال‌هایی که شامل متغیرها هستند دقیقاً به همان روش ساده‌سازی رادیکال‌هایی است که فقط شامل اعداد هستند. فاکتور گیری یا تبدیل به مربع کامل، راه‌کارهایی است که در اینجا نیز به کار می‌روند.

مثال ۷: عبارت √12a4b7c3

را ساده کنید.

از آنجایی که فرجه رادیکال زوج است (اگر رادیکال بدون فرجه باشد، محاسبه ریشه دوم صورت می‌گیرد) بنابراین تمامی جملات با توان زوج را می‌توان به صورت مربع کامل در آورد و از رادیکال خارج کرد. همچنین برای جمله یا عبارت‌هایی به شکل توان‌های فرد نیز می‌توان بخشی را به صورت توان زوج و بخش دیگر را به صورت توان فرد در آورد که حاصل ضرب آن‌ها، همان توان عبارت اصلی را بسازد.

همانطور که مشخص است b و c دارای توان‌های فرد هستند ولی می‌توانیم آن‌ها را به دو بخش ضربی با توان‌های زوج و فرد تفکیک کنیم. محاسبات را در ادامه می‌بینید.

√12a4b7c3=√3×22×a2×a2×(b3)×(b3)×b×c2×c=√3×(a2)2×(b3)2×b×c2×c

به این ترتیب با خارج کردن عبارت‌های مربع کامل، جملات سمت راست ساده شده و به شکل زیر در می‌آیند.

2×a2×b3×c×√3×b×c=2a2b3c√3bc

باز هم می‌بینید که با ضرب‌کردن اعداد، اعداد را قبل از عبارت رادیکالی قرار داده‌ایم تا خواندن جمله، ساده‌تر شود. به این ترتیب حاصل را به صورت «دو آ دو، بی سه ،سی در رادیکال سه بی سی»‌ می‌خوانیم.

مثال ۸: عبارت √20r18st21

را ساده کنید.

به وسیله فاکتورگیری و استفاده از تفکیک توان‌ها عبارت‌های مربوط به متغیرهای r و s را جدا کرده  تا به صورت مربع کامل درآیند. این عملیات در رابطه‌های زیر اجرا شده‌اند.

√20r18st21=√4×5×r18×s×t20×t=2r9t10√5st

نکته: ممکن است اشاره شده باشد که مقدار متغیرهای s , t مثبت هستند. این امر به جهت مثبت بودن مقدار زیر رادیکال مهم است. به یاد دارید که مقادیر زیر رادیکال‌های با فرجه زوج، همیشه باید مثبت باشند.

ضرب رادیکال ها

اولین کاری که برای ساده‌سازی رادیکال‌ها به کار بردید، استفاده از تبدیل رادیکال‌ ضرب به ضرب رادیکال‌ها بود. حال می‌خواهیم عمل عکس را انجام دهیم و برای ساده‌سازی ضرب رادیکال‌ها، آن‌ها را به رادیکال ضرب تبدیل کرده و جمله‌ها را ساده کنیم.

ساده سازی رادیکال‌های ضرب شده بسیار ساده است، ما از این واقعیت استفاده می‌کنیم که ضرب دو رادیکال همان رادیکال ضرب است و بالعکس. برای روشن شدن موضوع به ذکر مثال‌هایی خواهیم پرداخت.

مثال 9: حاصل ضرب √2√8

را انجام دهید.

همانطور که می‌دانید، این ضرب رادیکال‌ها است و چون فرجه رادیکال‌ها یکسان است می‌توانیم ضرب رادیکال‌ها را به صورت رادیکال ضرب عبارت‌های زیر رادیکال بنویسیم.

√2√8=√2×8=√16=4

همین عمل را به کمک تجزیه نیز می‌توانیم اجرا کنیم. به روابطی که در زیر قابل مشاهده است دقت کنید.

√2×√8=√2×√4×2=√2×2√2=2(√2×√2)=2(√2)2=2×2=4

کاملا مشخص است که ابتدا ۸ را تجزیه کرده‌ایم و به عاملی به صورت مربع درآورده‌ایم. سپس ضرب دو رادیکال یکسان را ساده کرده و چون هر دو عبارت رادیکالی یکسان هستند، رادیکال را برداشته‌ایم.

نکته: همانطور که در مثال قبل مشاهده کردید، هنگامی که یک رادیکال به توان ۲ (مثل √22

) برسد، رادیکال از بین می‌رود. بنابراین می‌توان گفت که چه مقدار زیر رادیکال یا کل عبارت (با رادیکال) به توان ۲ برسد، رادیکال از بین خواهد رفت.

مثال ۱۰:  عبارت √3√6

با چه مقداری برابر است؟

به منظور محاسبه عبارت گفته شده، ابتدا ضرب رادیکال‌ها را به رادیکال ضرب تبدیل می‌کنیم.

√3√6=√3×6=√3×(3×2)=√32×2=3√2

مثال ۱۱: عبارت √6√15√10

را ساده کنید.

درست به مانند مراحل قبلی، اعداد را به صورت تجزیه به عوامل اول یا مربع کامل در می‌آوریم.

6=2×3

15=3×5

10=2×5

بنابراین جذر یا ریشه حاصل ضرب را می‌نویسیم.

√6√15√10=√6×15×10=√(2×3)×(3×5)×(2×5)=√22×32×52=2×3×5=30

مثال ۱۲: عبارت √4x√5x3

را ساده کنید.

می‌بینید که در کنار اعداد از متغیرها نیز استفاده شده است. مشخص است که ۴ خود یک مربع کامل است و از درون حاصل ضرب x3

در x

نیز می‌توان بخش مربع کامل را استخراج کرد. بنابراین محاسبات را به صورتی که در ادامه می‌بینید، پی می‌گیریم.

√4x√5x3=√4x×√5x3=√(4x)×(5x3)=√4×5×x4=2×x2×√5=2x2√5

جذر و ریشه اعداد بخصوص در هنگامی که بخواهیم معادله درجه ۲ را حل کنیم، به کار گرفته می‌شود. در یکی از آموزش‌های فرادرس که مختص دبیرستان است، موضوع حل معادله درجه ۲ و به کارگیری جذر معرفی شده است. برای مشاهده این فیلم آموزشی، به لینکی که در ادامه دیده می‌شود، مراجعه کنید.

به صورت لینک و پی دی اف 

برای دانلود و استفاده شما

https://tizline.ir/portal/wp-content/uploads/2021/02/Tizline-daftarche-timss-8.pdf

https://tizline.ir/portal/wp-content/uploads/2021/02/tizline-daftarche-timss-7-8.pdf

نمونه سوالات هشتم لینک بالا

https://tizline.ir/portal/wp-content/uploads/2021/02/Tizline-daftarche-timss-4.pdf

نمونه سوالات دبستان چهارک لینک بالا

ازمون تیمز چیست (مختصر)

، TIMSS یکی از مطالعات ایجاد شده توسط IEA (انجمن بین‌المللی ارزیابی دستاورد آموزشی) است که هدف آن اجازه دادن به سیستم‌های آموزشی در سراسر جهان برای مقایسه دستاوردهای تحصیلی دانش‌آموزان با سیستم های آموزشی دیگر است و یادگیری از تجربیات دیگران در طراحی سیاست آموزشی موثر است. این ارزیابی اولین بار در سال ۱۹۹۵ انجام شد و از آن پس هر چهار سال یک‌بار دایر می‌شود. بنابراین، برخی از سیستم‌های آموزشی شرکت‌کننده داده‌های روند را از سال ۱۹۹۵ تا ۲۰۱۹ به دست آورده‌اند. TIMSS دانش آموزان کلاس چهارم و هشتم را ارزیابی می‌کند، در حالی که TIMSS پیشرفته دانش آموزان را در سال آخر متوسطه در ریاضیات پیشرفته و فیزیک مورد ارزیابی قرار می‌دهد.